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고유벡터와 고윳값 (Eigenvector and Eigenvalue)
핵심 개념: 고유벡터와 고윳값은 선형 대수에서 행렬을 다루는 중요한 개념으로, 특정한 변환에 대해 벡터의 방향이 바뀌지 않는 경우를 설명합니다.
고유벡터 (Eigenvector)
- 개념: 어떤 정방 행렬 \(A\)에 대해, 행렬 변환이 이루어져도 방향이 변하지 않는 벡터를 말합니다.
- 수학적 정의: 행렬 \(A\)와 벡터에 대해 \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)를 만족하는 벡터 \(\mathbf{v}\).
- 의미: 고유벡터는 해당 행렬 변환 아래에서 크기만 변할 뿐, 방향이 바뀌지 않는 벡터입니다.
고윳값 (Eigenvalue)
- 개념: 고유벡터가 행렬에 의해 얼마나 스케일링되는지를 나타내는 상수 \(\lambda\)입니다.
- 수학적 정의: 위 정의에서의 \(\lambda\)로, \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)를 만족하는 실수 또는 복소수 값입니다.
- 의미: 고유벡터가 변환될 때 크기를 몇 배로 변환할지를 나타내며, 음수일 경우 반대 방향으로 뒤집히게 됩니다.
고유벡터와 고윳값 찾기
- 특성 방정식: 행렬 \(A\)에 대해 고유벡터와 고윳값을 찾으려면 \(\text{det}(A - \lambda I) = 0\)이라는 방정식을 풉니다.
- 고윳값 계산: 위의 방정식을 풀어 \(\lambda\)값을 구합니다.
- 고유벡터 계산: 구한 \( \lambda \) 값을 대입하여 \( (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \)을 만족하는 \( \mathbf{v} \)를 구합니다.
예시
예를 들어, 다음과 같은 \(2 \times 2\) 행렬 \(A\)가 있다고 가정합니다.
\([A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{bmatrix}]\)- 특성 방정식으로 고윳값 \(\lambda\)를 구하고,
- 그 값을 이용해 고유벡터 \(\mathbf{v}\)를 구합니다.
응용 분야
- 그래프 이론: 고유벡터 중심성 계산 시 사용됩니다.
- 기계 학습과 데이터 분석: 차원 축소 기법인 PCA에서 데이터의 주성분을 찾는 데 활용됩니다.
- 물리학 및 공학: 시스템 안정성 분석, 진동 모드 분석 등에서 중요한 역할을 합니다.
요약
고유벡터와 고윳값은 행렬 변환에서 벡터가 어떻게 스케일링되고, 방향이 어떻게 변하지 않는지를 설명하는 개념입니다. 이들은 다양한 과학적 및 공학적 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 합니다.
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