튜플

튜플의 정의

• 셀 수 있는 수량의 순서 있는 열거이다.

n개의 요소를 가진 튜플의 명칭

• n-튜플 또는 n중쌍, n짝이다.

비어 있는 튜플의 정의

• 유일한 0-튜플이다.

임의의 n-튜플의 정의 방법

• 순서쌍의 개념을 이용하여 재귀적으로 정의된다.

튜플의 사용 용도

• 다른 수학 개념들(예: 벡터)을 나타내는 데 자주 사용된다.

튜플의 표현 방식

• 원소들을 괄호 '( )' 안에 쉼표 ','로 구분하여 나열한다.

튜플 표현의 예시

• 5-튜플의 예시는 (2, 7, 4, 1, 7)이다.

튜플 표현에 사용 가능한 부호

• 대괄호 '[ ]'나 화살괄호 '< >'도 사용 가능하다.

중괄호의 사용 제한

• 중괄호 '{ }'는 집합을 표시할 때 사용하며 튜플 표현에 사용되지 않는다.

컴퓨터 과학에서의 튜플의 의미

• 요소의 집합이나 테이블의 행(레코드와 동일한 의미)을 가리킨다.

튜플과 집합의 차이점

• 튜플은 중복이 허용되며, 원소의 순서가 고정된다.

튜플의 기본 성질

• 두 튜플이 같으려면 같은 위치의 성분이 각각 같아야 한다.

튜플의 중복 허용

• 원소를 중복해서 쓰면 다른 튜플이 된다.

튜플의 순서 고정

• 원소의 순서를 바꾸면 다른 튜플이 된다.

튜플의 원소 개수 제한

• 원소 개수는 유한하며, 무한할 수 없다.

n-튜플의 수학적 정의

• 첨수 집합을 정의역으로, 성분 집합을 공역으로 하는 함수로 정의할 수 있다.

튜플의 내포된 순서쌍 정의

• 비어 있는 튜플을 공집합으로 정의하고, n-튜플을 순서쌍으로 재귀적으로 정의한다.

m 원소 집합에서 n-튜플의 개수

• 곱 규칙에 따라 \(m^n\)이다.

튜플의 조합론적 의미

• 길이 n의 순서 있는 목록으로 다룬다.

튜플의 활용 범위

• 수학, 컴퓨터 과학, 언어학, 철학 등 다양한 분야에서 사용된다.

n-튜플의 함수 정의

• 튜플은 성분들의 첨수들의 집합을 정의역, 성분들이 이루는 집합을 공역으로 하는 함수이다.

n-튜플의 형식적인 표현

• 형식적으로 \((a_1, a_2, \dots, a_n) ≡ (X, Y, F)\)로 표현된다.
  • \(X = \{1, 2, \dots, n\}\): 첨수들의 집합이다.
  • \(Y = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}\): 성분들이 이루는 집합이다.
  • \(F = \{(1, a_1), (2, a_2), \dots, (n, a_n)\}\): 정의된 함수이다.

0-튜플의 정의

• 공집합 \(\emptyset\)로 정의된다.

내포된 순서쌍의 정의

• \(n\)-튜플은 첫 성분을 첫 번째 성분으로, 나머지 성분들로 이루어진 ((n-1))-튜플을 둘째 성분으로 하는 순서쌍이다.
  • 예를 들어, \((a_1, a_2, \dots, a_n) = (a_1, (a_2, (a_3, \dots, (a_{n-1}, a_n))))\).
  • 예시: \((1, 2, 3, 4) = (1, (2, (3, (4, \emptyset))))\).

내포된 집합 정의

• 순서쌍의 쿠라토프스키 정의를 사용해 튜플을 집합으로 표현할 수 있다.
• 끝에 (b)를 추가한 튜플 \(x \to b = (a_1, a_2, \dots, a_n, b)\)는 다음과 같은 집합이다:
  $$x \to b \equiv \{\{x\}, \{x, b\}\}.$$
• 예시:
  • \(() = \emptyset\).
  • \((1) = \{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}\).
  • \((1, 2) = \{\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}\}, \{\{\emptyset\}, \{\emptyset, 1\}, 2\}\}\).

 

m 원소 집합에서 n-튜플의 개수

• m 원소 집합에서 n-튜플의 개수는 \(m^n\)이며, 이는 중복 순열의 개수와 같다.

정의법의 의의

• 튜플의 다양한 정의를 통해 성질과 표현 방식을 체계화한다.
• 수학적, 집합론적 성질을 활용하여 여러 학문적 분야에 적용 가능하다.