Distributive property

분배 법칙의 정의

• 분배 법칙은 이항 연산에 대한 일반화로, $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$가 항상 성립함을 의미한다.

실수의 분배 법칙

• 예시: $6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96$

변수에 대한 분배 법칙

• 예시: $3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^2{b}^2$

이항식의 분배 법칙

• $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$

행렬의 분배 법칙

• $(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$
• $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$

순서수의 곱셈

• 왼쪽 분배 법칙만 성립.

교차 곱

• 벡터 덧셈에 대해 좌우 분배 법칙 성립, 교환 법칙은 성립하지 않음.

집합의 분배 법칙

• 합집합은 교집합에 대해 분배적.
• 교집합도 합집합에 대해 분배적.

논리적 연결자

• 논리적 "그리고(∧)"는 논리적 "또는(∨)"에 대해 분배적.

최댓값과 최솟값

• $max(a,min(b,c))=min(max(a,b),max(a,c))$
• $min(a,max(b,c))=max(min(a,b),min(a,c))$

최대공약수와 최소공배수

• $gcd(a,lcm(b,c))=lcm(gcd(a,b),gcd(a,c))$
• $lcm(a,gcd(b,c))=gcd(lcm(a,b),lcm(a,c))$

부동소수점 연산

• 분배 법칙이 계산 정밀도 한계로 실패할 수 있음.

환의 분배 법칙

• 덧셈은 곱셈에 대해 분배적이지만, 곱셈은 덧셈에 대해 분배적이지 않음.

불 대수

• 특정 조건에서 분배 법칙이 적용됨.

반대 분배 법칙

• $(a\vee b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\wedge (b\Rightarrow c)$
• $(a\wedge b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\vee (b\Rightarrow c)$

범주 이론의 분배 법칙

• 자연 변환을 통해 모나드 간의 분배를 정의.

일반화된 분배 법칙

• 부분 순서 집합에서 $a+b\le c$와 같은 불평등으로 확장.