Distributive property

분배 법칙의 정의

• 분배 법칙은 이항 연산에 대한 일반화로, \(x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z\)가 항상 성립함을 의미한다.

실수의 분배 법칙

• 예시: \(6 \cdot 16 = 6 \cdot (10 + 6) = 6 \cdot 10 + 6 \cdot 6 = 60 + 36 = 96\)

변수에 대한 분배 법칙

• 예시: \(3a^2b \cdot (4a - 5b) = 3a^2b \cdot 4a - 3a^2b \cdot 5b = 12a^3b - 15a^2b^2\)

이항식의 분배 법칙

• \((a + b) \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd\)

행렬의 분배 법칙

• \((A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C\)
• \(A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C\)

순서수의 곱셈

• 왼쪽 분배 법칙만 성립.

교차 곱

• 벡터 덧셈에 대해 좌우 분배 법칙 성립, 교환 법칙은 성립하지 않음.

집합의 분배 법칙

• 합집합은 교집합에 대해 분배적.
• 교집합도 합집합에 대해 분배적.

논리적 연결자

• 논리적 "그리고(∧)"는 논리적 "또는(∨)"에 대해 분배적.

최댓값과 최솟값

• \(max(a, min(b, c)) = min(max(a, b), max(a, c))\)
• \(min(a, max(b, c)) = max(min(a, b), min(a, c))\)

최대공약수와 최소공배수

• \(gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))\)
• \(lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))\)

부동소수점 연산

• 분배 법칙이 계산 정밀도 한계로 실패할 수 있음.

환의 분배 법칙

• 덧셈은 곱셈에 대해 분배적이지만, 곱셈은 덧셈에 대해 분배적이지 않음.

불 대수

• 특정 조건에서 분배 법칙이 적용됨.

반대 분배 법칙

• \((a ∨ b) ⇒ c ≡ (a ⇒ c) ∧ (b ⇒ c)\)
• \((a ∧ b) ⇒ c ≡ (a ⇒ c) ∨ (b ⇒ c)\)

범주 이론의 분배 법칙

• 자연 변환을 통해 모나드 간의 분배를 정의.

일반화된 분배 법칙

• 부분 순서 집합에서 \(a + b \leq c\)와 같은 불평등으로 확장.