선형대수학

벡터공간의 의미

• 체에 대한 가군
  • 암기법: 채소 가꾼 뒤, 곳간에 빼!
    • 채소: 체
    • 가꾼: 가군
    • 곳간: 공간
    • 빼: 벡터

벡터공간의 구성

• 치역 공간, 영 공간
  • 암기법: 배터지게 공원에서 치킨먹으며 영화보기
    • 배터지게: 벡터
    • 공원: 공간
    • 치킨: 치역 공간
    • 영화: 영공간

기저

• 벡터공간을 이동할 수 있는 집합
  • 암기법: 기저귀 빼고 이동한다.
    • 기저귀: 기저
    • 빼고: 벡터공간

기저의 특징

• 기저는 선형독립이며, 벡터공간을 선형생성한다.
  • 암기법 1: 성형 독 때매 기절
    • 성형 독: 선형독립
    • 기절: 기저
  • 암기법 2: 기독교의 영생
    • 기: 기저
    • 독교: 독립
    • 영생: 선형생성

차원의 의미

• 차원은 기저의 수이다.
  • 암기법: 차가워서 기절!
    • 차가워서: 차원
    • 기절: 기저

선형생성의 의미

• 주어진 벡터들의 집합으로부터 생성될 수 있는 모든 선형결합의 집합인 부분벡터공간이다.
  • 암기법: 부분적 결함을 성형한 쌤
    • 부분: 부분벡터공간
    • 결함: 선형결합
    • 성형 쌤: 선형생성

차원정리에 따른 벡터공간의 차원

• 선형사상의 커널과 이미지의 차원의 합
  • 암기법: 차 정리해 선상에 이미 구겨넣어!

동형사상의 조건

• 동형사상은 두 벡터 공간 사이의 선형사상이 전단사인 경우를 말한다.
  • 암기법: 동선 영상으로 전달해!

동차성의 특징

• 동차성은 스칼라곱에 대한 선형사상이 그 스칼라가 선형사상 밖으로 튀어나와 스케일된 결과를 반환하는 것을 말한다.
  • 암기법: 똥 찼엉! 튀어나와!

가산성의 특징

• 가산성은 두 벡터의 합에 대한 선형사상과 선형사상 안의 각각의 벡터를 꺼내서 각각 선형사상한 것의 합과 동일한 것을 말한다.
  • 암기법: 까서 잡숴요

• 고유벡터와 고윳값 (Eigenvector and Eigenvalue)의 핵심 개념
  • 고유벡터와 고윳값은 선형 대수에서 행렬을 다루는 중요한 개념으로, 특정한 변환에 대해 벡터의 방향이 바뀌지 않는 경우를 설명합니다.
  • 연산을 해도, 길이만 변한다.
    • 암기법: 고유한 길을 걷는 연극배우

​

고유벡터 (Eigenvector)

• 개념: 어떤 정방 행렬 \(A\)에 대해, 행렬 변환이 이루어져도 방향이 변하지 않는 벡터를 말합니다.
• 수학적 정의: 행렬 \(A\)와 벡터에 대해 \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)를 만족하는 벡터 \(\mathbf{v}\).
• 의미: 고유벡터는 해당 행렬 변환 아래에서 크기만 변할 뿐, 방향이 바뀌지 않는 벡터입니다.

​

고윳값 (Eigenvalue)

• 개념: 고유벡터가 행렬에 의해 얼마나 스케일링되는지를 나타내는 상수 \(\lambda\)입니다.
• 수학적 정의: 위 정의에서의 \(\lambda\)로, \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)를 만족하는 실수 또는 복소수 값입니다.
• 의미: 고유벡터가 변환될 때 크기를 몇 배로 변환할지를 나타내며, 음수일 경우 반대 방향으로 뒤집히게 됩니다.

​

고유벡터와 고윳값 찾기

• 특성 방정식: 행렬 \(A\)에 대해 고유벡터와 고윳값을 찾으려면 \(\text{det}(A - \lambda I) = 0\)이라는 방정식을 풉니다.
• 고윳값 계산: 위의 방정식을 풀어 \(\lambda\)값을 구합니다.
• 고유벡터 계산: 구한 \( \lambda \) 값을 대입하여 \( (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \)을 만족하는 \( \mathbf{v} \)를 구합니다.

​

예시

• 예를 들어, 다음과 같은 \(2 \times 2\) 행렬 \(A\)가 있다고 가정합니다.
• $$[A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{bmatrix}]$$
• 특성 방정식으로 고윳값 \(\lambda\)를 구하고,
• 그 값을 이용해 고유벡터 \(\mathbf{v}\)를 구합니다.

​

응용 분야

• 그래프 이론: 고유벡터 중심성 계산 시 사용됩니다.
• 기계 학습과 데이터 분석: 차원 축소 기법인 PCA에서 데이터의 주성분을 찾는 데 활용됩니다.
• 물리학 및 공학: 시스템 안정성 분석, 진동 모드 분석 등에서 중요한 역할을 합니다.

​

요약

• 고유벡터와 고윳값은 행렬 변환에서 벡터가 어떻게 스케일링되고, 방향이 어떻게 변하지 않는지를 설명하는 개념입니다.
• 이들은 다양한 과학적 및 공학적 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 합니다.