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대수 구조의 정의
- 일련의 연산들이 주어진 집합이다.
대수 구조의 부호수
- 집합 \(\tau\)와 공역이 음이 아닌 정수의 집합인 함수 \(\operatorname{arity}\colon \tau \to \mathbb{N}\)의 순서쌍이다.
대수 구조의 연산 개념이 포함하는 것
- 형 \(\tau\)의 \(n\)항 연산
형 \(tau\)의 대수 구조의 구성 요소
- 집합 \(S\)와 함수 \(F\colon \tau \to \bigsqcup_{n\in \mathbb{N}} S^{S^{\times n}}\)이다.
- \(\bigsqcup\) : 분리합집합
- \( \tau \): 함수의 이름(혹은 기호)을 나타내는 함수 기호의 집합입니다.
- 예시: \( \tau = {+, \cdot, -, 0} \)
- \( S \): 대수 구조가 정의된 집합입니다.
- 예시: \( S = \mathbb{R} \) (실수 집합)
- \( \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} \): 연속 합집합을 의미합니다.
- \( n \)에 대해 서로 다른 집합들을 합쳐 놓은 것입니다.
- 여기서는, 각 \( n \in \mathbb{N} \)에 대해, \( S^{S^{\times n}} \)라는 집합이 하나씩 존재합니다
- 이들을 모아놓은 집합이 \( \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} S^{S^{\times n}} \)입니다.
- \( S^{\times n} \): 집합 \( S \)의 \( n \)-중 데카르트 곱
- \( S \times S \times \cdots \times S \) (총 \( n \)번 곱)입니다.
- 예를 들어, \( S = \mathbb{R} \)이고 \( n = 2 \)라면 \( S^{\times 2} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \), 즉 \( (x, y) \) 쌍의 집합입니다.
- \( S^{S^{\times n}} \): 이는 \( S^{\times n} \)에서 \( S \)로 가는 모든 함수들의 집합을 나타냅니다.
- 즉, \( S^{S^{\times n}} \)는 함수 \( g \colon S^{\times n} \to S \)를 포함하는 집합입니다.
- 예를 들어, \( n = 2 \)라면, 이는 두 개의 입력을 받아 \( S \)의 원소를 반환하는 함수들의 집합입니다.
- \( F \colon \tau \to \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} S^{S^{\times n}} \):
- \( F \)는 함수 기호 \( t \in \tau \)를 받아서, \( n \)-변수 함수 \( g \colon S^{\times n} \to S \)를 반환하는 매핑입니다.
- 즉, \( F(t) \)는 특정 함수 기호 \( t \)에 대해 어떤 함수 \( g \)를 정의합니다.
- 결론적으로:
- 이 식은 \( \tau \)에 속한 각 기호가 어떤 \( n \)-변수 함수 \( S^{\times n} \to S \)에 대응되는지를 나타냅니다.
- \( F \)는 \( \tau \)의 각 기호 \( t \)를 받아 그에 해당하는 구체적인 함수 \( F(t) \)를 반환합니다.
- 예제
- 집합 \( S = \mathbb{R} \), \( \tau = {+, \cdot, -, 0} \)라고 가정합니다.
- \( F \)가 \( \tau \)의 각 기호에 대해 함수를 정의하면:
- \( F(+) \)는 \( S \times S \to S \)로, \( (x, y) \mapsto x + y \)를 나타냅니다.
- \( F(\cdot) \)는 \( S \times S \to S \)로, \( (x, y) \mapsto x \cdot y \)를 나타냅니다.
- \( F(0) \)는 \( S \to S \)로, 모든 입력에서 0을 반환합니다.
집합 \(S\)의 정의
- 다루고자 하는 대상(요소)들의 모임이다.
집합 \(S\)의 예시
- 숫자들의 집합 \((N, Z, R)\) 또는 문자들의 집합이다.
집합 \(S\)의 목적
- 대수 구조의 기본 대상이 되는 것이다.
함수 \(F\)의 정의
- 형 \(\tau\)를 입력으로 받아 특정 출력값을 반환하는 함수이다.
함수 \(F\)의 입력
- \(\tau\)이며, 이는 연산의 이름, 연산자의 종류, 또는 구조의 규칙을 나타낸다.
- 암기법: 타오르는 연구자
- 타오르는: tau
- 연: 연산이름
- 구: 구조규칙
- 열: 연산자종류
함수 \(F\)의 출력
- 집합 \(S_n\)의 분리 합집합이다.
집합 \(S_n\)의 정의
- \(n\)개의 \(S\)의 요소들로 이루어진 순서쌍이다.
대수 구조에서 집합 \(S\)의 역할
- 연산에 사용되는 기본적인 대상들이다.
대수 구조에서 함수 \(F\)의 역할
- 연산의 구조를 정의하는 것이다.
자연수 집합 \(N\)에서 덧셈 구조의 예
- \(S = N\), \(\tau = +\), \(F(+)(a, b) = a + b\)로 나타낸다.
대수 구조의 일반적인 정의
- 집합 \(S\), 형 \(\tau\), 함수 \(F\)를 사용하여 특정 연산을 수행하고 표현하는 구조를 정의하는 것이다.
형 \(\tau\)의 예시
- 덧셈(+), 곱셈(⋅), 벡터 내적 등이 있다.
함수 \(F\)가 정의하는 관계
- \(\tau\)와 \(n\)-항 함수 사이의 관계를 나타낸다.
대수 구조의 요약
- 집합 \(S\)의 요소에 대해 \(\tau\)로 나타낸 연산 규칙을 정의하는 함수 \(F\)를 통해 특정 연산을 수행하는 방법과 구조를 설명하는 것이다.
대수 구조의 연산의 성격
- 항등식에 대한 데이터를 포함하지 않으며, 이러한 데이터를 포함하는 대상을 대수 구조 다양체라 한다.
대수 구조의 개념
- 관계를 포함하지 않는 구조로 정의된다.
구조의 정의
- 대수 구조의 개념에 관계 개념을 추가하여 일반화한 것이다.
부분 대수의 정의
- 대수 구조의 부분집합 \(T \subset S\)로서 연산이 원래 대수 구조의 연산과 일치하는 대수 구조이다.
부분 대수의 포함 관계
- 부분 순서 집합 \(\operatorname{Sub}(S)\)를 이루며, 이는 대수적 격자를 형성한다.
몫 대수의 정의
- 대수 구조 \(S\) 위에 합동 관계가 주어진 경우, 동치류 집합과 연산 호환을 통해 정의되는 대수 구조이다.
몫 대수의 부분 순서 집합
- 대수 구조 위의 합동 관계의 부분 순서 집합과 동형이다.
단순 대수의 정의
- 합동 관계 격자가 두 원소를 가진 대수 구조이다.
극대 합동 관계의 정의
- 몫 대수가 단순 대수인 경우의 합동 관계이다.
모노이드의 정의
- 곱셈 연산과 항등원이 정의된 집합이다.
군의 정의
- 곱셈, 역원, 항등원이 정의된 집합이다.
유사환의 정의
- 곱셈, 덧셈, 덧셈 역원, 덧셈 항등원이 정의된 집합이다.
환의 정의
- 곱셈, 덧셈, 덧셈 역원, 덧셈 항등원, 곱셈 항등원이 정의된 집합이다.
가군**의 정의**
- 덧셈, 덧셈 역원, 덧셈 항등원, 스칼라 곱셈이 정의된 집합이다.
체의 특성
- 모든 원소에 대해 곱셈 역원이 정의되지 않아 대수 구조로 보기에 어려움이 있다.
체의 몫 및 합동 관계
- 몫이나 합동 관계가 존재하지 않아 군이나 환 이론과 다르게 정의된다.
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