연산

집합 \(S\) 위의 연산의 정의

• \(n\)-항 연산으로, 함수 \(F: S^{\times n} \to S\)를 의미한다.
  • • \(S\): 특정 원소들의 모임(집합)입니다.
      • 예를 들어, \(S = \{1, 2, 3\}\)라면, \(S\)는 원소 1, 2, 3으로 구성된 집합이다.
      • 여기서는 \(S\)가 어떤 집합인지는 구체적으로 정의하지 않았다.
      • 연산이 이루어지는 대상이라는 점만 알아두면 된다.
    • \(S^{\times n}\)의 의미
      • \(S^{\times n}\)은 집합 \(S\)에서 \(n\)개의 원소를 선택한 순서쌍(튜플) 의 집합이다.
        • 이 때 선택하는 방식은 꼭 복원추출하는 것 같다.
        • 예1: \(S = {1, 2}\)이고 \(n = 2\)라면 \(S^{\times 2} = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}\)
        • 예2: \(S = {a, b}\)이고 \(n = 3\)라면 \(S^{\times 3} = \{(a, a, a), (a, a, b), \dots, (b, b, b)\}\)
      • 암기법: 꼽아봐
        • 꼽: X
    • \(F\)는 \(S^{\times n}\)의 원소(즉, \(n\)개의 입력)로부터 집합 \(S\)의 원소 하나를 반환하는 함수입니다.
      • 쉽게 말하면, \(F\)는 \(n\)개의 입력을 받아 \(S\)의 원소 하나를 "결과"로 내놓는 작업을 합니다.
      • 예: \(S = \{1, 2, 3\}\), \(F(x, y) = x + y \mod 3\)라면: \(F(1, 2) = (1 + 2) \mod 3 = 0\) → 0은 \(S\) 안의 원소가 아니기 때문에 0을 \(S\) 안의 원소에 매핑해서 연산의 결과가 집합 \(S\) 안에 있도록 조정하면 연산이 될 수 있다.

 

 

집합 \(S\) 위의 연산이 되기 위한 조건 중 하나

• 연산의 결과가 항상 원래의 집합 \(S\) 안에 있어야 한다는 것입니다.
• 이를 만족하지 않으면, 수학적으로는 집합 \(S\) 위의 연산이라고 부를 수 없습니다.

 

영항 연산의 정의

• \(S\)의 원소 \(s \in S\)로, \(S\)의 특수한 경우의 연산이다.

일항 연산의 정의

• \(S\) 위의 함수 \(S \to S\)이다.

이항 연산의 정의

• \(S\)의 두 원소로부터 \(S\)의 한 원소를 얻는 함수 \(S \times S \to S\)이다.

이항 연산을 갖춘 집합의 정의

• 마그마로 불린다.
• 암기법: 마가 2개니까 이항연산

삼항 연산의 정의

• \(S\)의 세 원소로부터 \(S\)의 한 원소를 얻는 함수 \(S \times S \times S \to S\)이다.

넓은 의미의 \(n\)-항 연산의 정의

• \(F: S_0 \times S_1 \times \cdots \times S_{n-1} \to S\)로, 각 항이 다른 집합 \(S_i\)에서 선택되는 경우를 포함한다.
  • 각 입력값이 서로 다른 집합에서 선택될 수 있다는 점입니다. 
  • 즉, 첫 번째 입력은 S0에서, 두 번째 입력은 S1에서, 이런 식으로 각각 다른 집합에서 선택됩니다. 총 n개의 입력값을 받아 하나의 결과를 만들어냅니다.

유한항 연산의 정의

• 항수가 유한한 연산을 의미한다.

무한항 연산의 정의

• 항수가 무한한 연산으로, 순서수 \(\alpha \in \text{Ord}\)를 사용한다.

집합 \(T \subset S\)의 닫힘 조건

• \(T\)가 \(F\)에 대해 닫혀있으면, 임의의 \(\vec{t} \in T^{\times n}\)에 대해 \(F(\vec{t}) \in T\)임을 만족한다.
  • T가 F에 대해 닫혀있다는 뜻:
    • 닫혀있다는 것은 연산 F를 T의 원소들에 적용했을 때 결과가 다시 T 안에 있어야 한다는 뜻입니다.
    • 즉, 연산 결과가 T를 벗어나지 않는다는 것을 의미합니다.
  • 수식의 의미
    • \(\vec{t} \in T^n\): \(T\)에서 \(n\)개의 원소를 선택한 튜플(순서쌍).
    • \(F(\vec{t}) \in T\): 연산 \(F\)를 \(\vec{t}\)에 적용한 결과가 \(T\)에 포함됨.
    • 쉽게 말해
      - \(T = \{1, 2, 3\}\), \(F(x, y) = x + y\)일 때:
      - \(1, 2 \in T\) → \(F(1, 2) = 1 + 2 = 3 \in T\).
      - \(T\)는 \(F\)에 대해 닫혀 있음.
    • 닫힘 조건을 만족하지 않는 경우
      만약 \(F\)의 결과가 \(T\)를 벗어나면 닫혀있지 않습니다.
      예: \(T = \{1, 2, 3\}\), \(F(x, y) = x + y\)일 때:
      \(F(2, 3) = 2 + 3 = 5 \notin T\).
      \(T\)는 \(F\)에 대해 닫혀 있지 않음.

집합 \(T \subset S\)의 \(F\)에 대한 폐포(closure)

• \(F\)에 대해 닫혀 있는 최소 집합 \(T\)를 포함하며 \(T \subset \operatorname{cl}_F T \subset S\)이다.
• \(T\)가 닫혀 있지 않을 때, \(T\)를 닫히게 만드는 가장 작은 집합을 찾고, 이 닫힌 집합을 \(\text{cl}_F T\)라고 부른다.
• 즉, \(\text{cl}_F T\)는 \(T\)를 포함하고, \(F\)에 대해 닫혀 있는 가장 작은 집합이다.
• 수식의 의미
  • \(T \subset \text{cl}_F T\): \(T\)는 폐포의 부분집합.
  • \(\text{cl}_F T \subset S\): 폐포는 전체 집합 \(S\)의 부분집합.
• 예제:
  • \(S = \mathbb{Z}\) (정수 집합), \(T = \{0, 2\}\), \(F(x, y) = x + y\).
  • \(T\)는 \(F\)에 대해 닫혀 있지 않음.
  • \(F(2, 2) = 2 + 2 = 4 \notin T\).
  • \(T\)를 닫히게 만들기 위해 \(4\)를 추가해야 함.
  • \(\text{cl}_F T = \{0, 2, 4, 6, \dots\}\): \(F(x, y) = x + y\)에 대해 닫혀 있는 최소 집합.

연산의 표기법

• 전위 표기법(폴란드 표기법), 중위 표기법, 후위 표기법 등이 있다.

전위 표기법의 예

• \( -a \) (반수), \( \lnot p \) (부정) 등이다.

중위 표기법의 예

• \( a + b \), \( a \cdot b \) 등이다.

집합 \(S\)의 멱집합 \(P(S)\) 위에 유도된 연산의 정의

• \(F\)에 의해 \(F: \mathcal{P}(S)^{\times n} \to \mathcal{P}(S)\)로 확장된다.

연산의 점별 연산의 정의

• \(F: Y^{\times n} \to Y\)를 함수 집합 \(Y^X\)에 대해 \(F: (Y^X)^{\times n} \to Y^X\)로 확장하는 것이다.

실수 집합 \(\mathbb{R}\) 위의 덧셈 연산

• \(+: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)으로 정의되며, 이항 연산이다.

실수 집합 \(\mathbb{R}\) 위의 나눗셈 연산

• \(/: \mathbb{R} \times (\mathbb{R} \setminus {0}) \to \mathbb{R}\)으로 정의되며, 이항 연산이 아니다.

자연수 집합 \(\mathbb{N}\)은 덧셈에 대해 닫혀있다

• 임의의 \(m, n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(m + n \in \mathbb{N}\)이다.

자연수 집합 \(\mathbb{N}\)은 뺄셈에 대해 닫혀있지 않다

• 예를 들어, \(3, 5 \in \mathbb{N}\)이지만 \(3 - 5 = -2 \not\in \mathbb{N}\)이다.

군 \(G\) 위의 항등원 연산

• 영항 연산이다.

군 \(G\) 위의 곱셈 연산

• \(G \times G \to G\)로 정의된 이항 연산이다.

벡터 공간 \(V\) 위의 벡터 덧셈

• \(+: V \times V \to V\)로 정의된 이항 연산이다.

벡터 공간 \(V\) 위의 스칼라 곱셈

• \(K \times V \to V\)로 정의되지만, 넓은 의미에서의 이항 연산이다.

관계는 연산의 특수한 경우

• \(n\)-항 관계 \(R \subseteq S^{\times n}\)은 \(F: S^{\times n} \to {0, 1}\)로 여겨질 수 있다.