Transfinite number, 초한수, 超限數

수학에서 초한수의 정의

• 유한하지 않은 순서수와 기수를 뜻한다.
• 암기법: 순기능 좋아
  • 순: 순서수
  • 기: 기수
  • 좋아: 조한수

초한수의 속성

• 모든 유한한 수보다 크지만, 절대적 무한은 아니다.
• 암기법: 유초무한
  • 유한 < 초한 < 무한

초한수의 용어 사용 목적

• 게오르크 칸토어가 절대적 무한과 구별하기 위해 처음 사용한 용어이다.

순서수의 정의

• 칸토어가 정의한 순서수는 모든 쌍의 원소가 비교 가능한 순서가 부여되었다.
• 모든 부분 집합이 최소 원소를 갖는 집합이다.
• 둘 사이에 순서를 보존하는 일대일 대응이 존재하면 동일하다고 보는 개념이다.

순서 집합의 완전 순서 관계

• 모든 쌍의 원소가 비교 가능한 완전 순서 관계를 가지는 것이다.

순서 집합의 최소 원소

• 모든 부분 집합에 최소 원소가 존재해야 한다.

순서수의 정의

• 순서 집합의 유형을 특정한 수로 나타낸다.

순서수의 일대일 대응

• 순서를 보존하는 일대일 대응이 존재하면 같은 순서수로 간주한다.

순서수의 최소 원소

• 모든 부분 집합이 최소 원소를 가져야 한다.

순서수를 만족하는 집합

• 자연수 전체 집합 \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots \} \)

순서수를 만족하지 않는 집합

• 정수 집합 \( \mathbb{Z} = \{ \dots, -1, 0, 1, 2, \dots \} \)

순서수의 역할

• 잘 정렬된 집합의 크기와 구조를 구분하는 도구로 사용된다.

첫 번째 무한 순서수

• \( \omega \): 자연수 전체 집합의 순서수를 나타낸다.

무한 순서수의 확장

• \( \omega + 1, \omega + 2, \dots, \omega \cdot 2, \omega^2, \dots \)

가장 작은 초한 순서수 \(\omega\)의 속성

• 표준적인 순서를 갖춘 양의 정수의 집합 \(1 < 2 < \cdots\)에 대응하는 순서수이다.
• \(\omega\)는 자연수 전체의 "순서적 유형"을 나타낸다.

순서수 \(\omega + 1\)의 속성

• \(1 < 2 < \cdots < \omega\)에 대응하는 순서수이다.
• 쉽게 말해 \(\omega + 1\) 은 자연수의 순서 끝에 새로운 원소 \(\omega\)를 하나 추가한 순서수입니다.
• 아무튼 자연수보다 무조건 큰 구조이다.

순서수 \(\omega + 1\)의 최소값

• 유한한 최소값: 유한 부분 집합을 선택하면 유한한 최소값도 가능하다.
• 무한한 최솟값: \(\omega + 1\)에서  \(\{ \omega\} \) 와 같은 부분 집합을 선택하면 최소값은 유한하지 않고 무한 원소인 \(\omega \) 가 됩니다.

순서수 \(\omega + 2\)의 속성

• \(1 < 2 < \cdots < \omega < \omega + 1\)에 대응하는 순서수이다.

몇 가지 초기 초한 순서수

• \(\omega, \omega + 1, \dots, \omega^2, \omega^2 + 1, \dots, \omega^3, \dots, \omega^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \dots\)이다.

기수의 정의

• 칸토어가 정의한 기수는 집합에서 두 집합 사이에 일대일 대응이 존재하면 동일하다고 보는 개념이다.

가장 작은 초한 기수 \(\aleph_0\)의 속성

• 모든 자연수의 집합에 대응하는 기수이다.
• 암기법: 알자지라
  • 알: 알레프
  • 자: 자연수
  • 지라: 제로

기수 \(\aleph_1\)의 속성

• 모든 \(\aleph_0\) 크기의 순서수의 집합에 대응하는 기수이다.

기수 \(\aleph_2\)의 속성

• 모든 \(\aleph_1\) 크기의 순서수의 집합에 대응하는 기수이다.

몇 가지 초기 초한 기수

• \(\aleph_0, \aleph_1, \dots, \aleph_\omega, \dots\)이다.